\section{Fortætningspunkter for filtre og net hænger sammen - HVOR SKAL DET MED???}

Net er introduceret med henblik på at udvide begrebet følger, da følger i et vilkårligt rum får nogle mærkelige egenskaber. Det simple, men også kernen i selve problemet med følger er deres tællelighed. I sagens natur kan man ikke sikre at en tællelig følge fra et sted er i en overtællelig omegnsbasis, og det er nødvendigt for konvergenskarakteriseringer.  \fixme{Jeg ved ikke om dette afsnit skal være her. I givet fald skal jeg i hvert fald omformulere}

Som et eksempel vil jeg her demonstrere hvordan i et topologisk rum vi kan have en konvergent følge og en åben omegn om grænseværdien uden at omegnen indeholder nogen punkter af følgen:

\begin{ex}[Følgekonvergens og åbne omegne.]
  TODO - der er et eksempel i ``General Topology'', hvor $X = (\Z^+ \times \Z^+) \cup {(0,0)}$ og $\tau = \{(m,n) | (m,n) \in \Z^+ \times \Z^+\} \cup \{ U | (0,0) \in U \wedge U \text{ har en mærkelig egenskab}\}$
\end{ex}


Følgende lemma er vigtigt i arbejdet med net, da det en gang for alle giver konstruktionen af et konvergent net forudsat man for et net har et fortætningspunkt. 

Hjælpelemmaet er godt i flere sammenhænge. F.eks. kan man anvende det på et net der hyppigt er ienhver mængde i $\OO (x)$, og dermed vise eksistensen af et delnet der konvergerer mod x. 

\begin{thm}
  Ethvert net $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ har et universelt delnet.
\end{thm}

\begin{proof}
  Sætningens bevis bygger kraftigt på Zorns lemma, der er et postulat ækvivalent med udvalgsaksiomet. Lad $\sP$ være mængden af filtre i det topologiske rum $X$, så for $\sF \in \sP$ vil nettet $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$, hyppigt være i ethvert $F \in \sF$. Vi har nu: 
\begin{itemize}
  \item $\sF \neq \emptyset$ da filtret $\{X\} \in \sP$.
  \item For $\{\sF_j | j \in J\}$ vil $\bigcup \sF_j \in \sP$ [hvorfor er det et filter?!] og en majorant for $\{sF_j | j \in J\}$. 
\end{itemize}

Så giver Zorns lemma eksistensen af et maksimalt filter $\sG \in \sP$. 

Lad nu $Y \subseteq X$ og antag der findes et $\lambda \in \Lambda$ og mængder $E,F \in \sG$ så for $\mu \geq \lambda$ vil $x_\mu \notin E \cap Y \wedge x_\mu \notin F\backslash Y$. Men da $E \cap F \in \sG$ og
 \[E \cap F = (E \cap F \cap Y) \cup ((E \cap F) \backslash Y) \subseteq (E \cap Y) \cup (F \backslash Y)\]
har vi en modstrid med at nettet hyppigt er i enhver mængde i filtret $\sG$. Altså må der gælde at filtret hyppigt er i enten $E \cap Y \subseteq Y$ eller $ F \backslash Y \subseteq X \backslash Y$. Hvis det første er tilfældet kan vi danne filtret 
\[\sG ' = \{F \subseteq X | F \supseteq E \cap Y , E \in \sG \} \]
Vi har nu, da $X \in \sG$ at $Y \in \sG '$, men på grund af maksimaliteten fra Zorns lemma får vi at $\sG ' = \sG$ og dermed at $Y \in \sG$. Med samme argumenter giver det andet tilfælde anledning til at $X\backslash Y \in \sG$. Og ved lige at bemærke at ikke både en mængde og dens komplement kan være i $\sG$ da 
\[Y \in \sG \wedge X\backslash Y \in \sG \Rightarrow Y \cap (X \backslash Y) = \emptyset \in \sG\]
Altså har vi nu at for enhver delmængde $Y \subseteq X$ vil enten $Y \in \sG$ eller $X\backslash Y \in \sG$. Nu kan vi bruge \vref{lem:hjlem} til at lave det ønskede delnet.
\end{proof}
